Hoán đổi đạo hàm và tích phân - Integral & Derivative Exchange

Du Mã — Sun, 14 Sep 2025 18:55:00 +0700

Đạo hàm & Tích phân, hoán đổi và các nhầm lẫn thường thấy

$$ \int_0^t f'(s)\,ds = f(t) - f(0). $$

Đây là định lý cơ bản của giải tích.
Ý nghĩa: cộng dồn tất cả “tốc độ thay đổi” $f’(s)$ từ 0 đến $t$ thì bằng hiệu giá trị biên.

$$ \frac{d}{dt}\int_0^t f(s)\,ds = f(t). $$

Đạo hàm tác động vào cận trên biến thiên $t$.
Ý nghĩa: tốc độ thay đổi của diện tích khi dịch cận trên bằng đúng giá trị hạch nhân tức thời ở biên.

$$ \frac{d}{dt}\int_\Omega f(t,x)\,dx = \int_\Omega \partial_t f(t,x)\,dx, $$

nếu $f$ trơn hoặc thỏa dominated convergence.