Calculus - Nhãn - NZQIRChttps://nzqirc.xyz/tags/calculus/Calculus - Nhãn - NZQIRCHugo -- gohugo.ioviThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.Sun, 14 Sep 2025 18:55:00 +0700Hoán đổi đạo hàm và tích phân - Integral & Derivative Exchangehttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integral-derivative-exchange/Sun, 14 Sep 2025 18:55:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integral-derivative-exchange/Đạo hàm & Tích phân, hoán đổi và các nhầm lẫn thường thấy

1. Hai tình huống cơ bản

(A) Tích phân của đạo hàm (cùng biến)

$$ \int_0^t f'(s)\,ds = f(t) - f(0). $$
  • Đây là định lý cơ bản của giải tích.
  • Ý nghĩa: cộng dồn tất cả “tốc độ thay đổi” $f’(s)$ từ 0 đến $t$ thì bằng hiệu giá trị biên.

(B) Đạo hàm của tích phân (cận phụ thuộc biến)

$$ \frac{d}{dt}\int_0^t f(s)\,ds = f(t). $$
  • Đạo hàm tác động vào cận trên biến thiên $t$.
  • Ý nghĩa: tốc độ thay đổi của diện tích khi dịch cận trên bằng đúng giá trị hạch nhân tức thời ở biên.

(C) Hoán đổi đạo hàm và tích phân (khác biến)

$$ \frac{d}{dt}\int_\Omega f(t,x)\,dx = \int_\Omega \partial_t f(t,x)\,dx, $$

nếu $f$ trơn hoặc thỏa dominated convergence.

]]>Nhân tử lấy tích phân - Integrating Factorhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integrating-factor/Tue, 09 Sep 2025 18:55:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integrating-factor/1. Ta đi từ PDE về ODE

Sau khi đi theo đường đặc trưng, PDE trở thành ODE:

$$ U'(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))} + \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\, U(s), $$

trong đó $U(s) = u(s, X(s))$.

Đây là ODE tuyến tính bậc nhất dạng:

$$ U'(s) - \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\,U(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))}. $$

2. Đặc điểm của ODE tuyến tính bậc nhất

Một ODE tuyến tính bậc nhất có dạng tổng quát:

$$ y'(s) + \textcolor{#1E90FF}{a(s)}\,y(s) = \textcolor{#FF1394}{b(s)}. $$

Muốn giải loại này, ta dùng nhân tử lấy tích phân (integrating factor).

]]>Tốc độ tiến về vô cùnghttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/speed-of-going-to-infty/Mon, 02 Dec 2024 11:01:56 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/speed-of-going-to-infty/Trong nhiều bài toán giải tích, ta thường quan tâm đến tốc độ tiến về vô cùng (còn gọi là tốc độ tăng trưởng) của các hàm số trên đoạn $[0, +\infty)$. Nó liên quan trực tiếp đến sự hội tụ của dãy hay chuỗi, và đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các định lý quan trọng.

Các hàm thường gặp

Trong bài viết này, ta sẽ so sánh tốc độ tăng trưởng của một số dạng hàm quen thuộc sau:

]]>Định lí hàm ẩn - Implicit Function Theoremhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/implicit-function/Tue, 26 Nov 2024 16:34:18 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/implicit-function/Các bài toán tối ưu có ràng buộc (Lagrange), ổn định trong hệ động lực (stability in dynamical systems), hình học (geometry), topo (topology), kinh tế (comparative statics), học máy (machine learning), robot (robotics - Kinematics), thuỷ động lực học (Fluid Dynamics) … thường dẫn đến các phương trình nhiều biến kiểu như:

$$ F(x_0, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0. $$

Đôi khi việc tìm nghiệm của phương trình trên là không thể, tốn nhiều tài nguyện hoặc thậm chí là không cần thiết. Thay vào đó, một nhu cầu khác thường phát sinh, đó là lúc ta nghi ngờ rằng có sự phụ thuộc ngầm giữa các biến (có thể chỉ tồn tại trong một phạm vi cục bộ nào đó) và ta muốn xác định điều kiện để biểu diễn một (hoặc một vài biến) biến dưới dạng hàm của các biến còn lại. Nội dung của Định lí hàm ẩn (Implicit Function Theorem) chính là để giải quyết vấn đề này.

]]>Tích phân từng phần - làm sao cho đỡ rốihttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integration-by-parts/Sat, 16 Nov 2024 14:12:01 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integration-by-parts/Ý tưởng

Ý tưởng của tích phân từng phần (integration by parts) bắt nguồn từ đạo hàm của một tích.

Nhắc lại, để tính đạo hàm của một tích hai hàm $u$ và $v$, ta sử dụng phương pháp “chia để trị” như sau

$$(uv)' = u'v+uv',\qquad\qquad(1)$$

hay, ở dạng khác là

$$\dfrac{d}{dx}(uv) = \dfrac{du}{dx}v + u\dfrac{dv}{dx}.\qquad\qquad(2)$$

Nhân cả 2 vế của phương trình (2) với $dx$, ta được

$$d(uv) = u\,dv + v\,du.\qquad\qquad(3)$$

Lấy tích phân cả hai vế của phương trình (3) theo biến $x$, ta được

]]>Tại sao đạo hàm của $x^2$ là $2x$https://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/why-derivative-of-x2-is-2x/Wed, 13 Nov 2024 20:16:56 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/why-derivative-of-x2-is-2x/<p>Bài toán lấy đạo hàm này quá đơn giản với bất cứ ai đã học giải tích. Phần đông bạn đọc có thể nhớ ngay kết quả là $2x$ mà không cần phải suy nghĩ. Tuy nhiên, tại sao đạo hàm của $x^2$ lại là $2x$? Có lẽ không nhiều bạn đọc có thể giải thích rõ ràng lí do tại sao ngay lập tức. Bài viết siêu ngắn này sẽ giúp bạn ôn lại và kết nối các mẩu kiến thức mà chắn hẳn bạn đã học từ trước.</p>Chuỗi Taylor - Một cách dễ nhớhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/taylor-series/Fri, 25 Oct 2024 17:26:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/taylor-series/

Khai triển Taylor (Taylor expansion) xây dựng một đa thức có các đạo hàm tại điểm $c$ khớp với các đạo hàm tương ứng của hàm $f$. Nếu $f$ có đủ số đạo hàm gần $c$, đa thức Taylor bậc hữu hạn cho một xấp xỉ địa phương với sai số được mô tả bởi số dư Taylor.

]]>