Tuy nhiên, khi bổ sung điều kiện nguyên tố cùng nhau ($\gcd(a, b) = 1$), rào cản trên được gỡ bỏ hoàn toàn. Mệnh đề này được gọi là Bổ đề Euclid (Euclid’s Lemma) — một trong những kết quả căn bản và quyền lực nhất của Lý thuyết số, đóng vai trò bản lề để chứng minh Định lý Cơ bản của Số học.

Bài viết này sẽ khảo sát định nghĩa chuẩn tắc này và chứng minh rằng mọi cặp số nguyên khác không đều có duy nhất một bội chung nhỏ nhất, kết hợp các công cụ từ Nguyên lý Thứ tự tốt, Bổ đề Bézout, đến Cấu trúc Vành I-đê-an chính (PID).