Analysis - Nhãn - NZQIRChttps://nzqirc.xyz/tags/analysis/Analysis - Nhãn - NZQIRCHugo -- gohugo.ioviThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.Sun, 14 Sep 2025 18:55:00 +0700Hoán đổi đạo hàm và tích phân - Integral & Derivative Exchangehttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integral-derivative-exchange/Sun, 14 Sep 2025 18:55:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integral-derivative-exchange/Đạo hàm & Tích phân, hoán đổi và các nhầm lẫn thường thấy

1. Hai tình huống cơ bản

(A) Tích phân của đạo hàm (cùng biến)

$$ \int_0^t f'(s)\,ds = f(t) - f(0). $$
  • Đây là định lý cơ bản của giải tích.
  • Ý nghĩa: cộng dồn tất cả “tốc độ thay đổi” $f’(s)$ từ 0 đến $t$ thì bằng hiệu giá trị biên.

(B) Đạo hàm của tích phân (cận phụ thuộc biến)

$$ \frac{d}{dt}\int_0^t f(s)\,ds = f(t). $$
  • Đạo hàm tác động vào cận trên biến thiên $t$.
  • Ý nghĩa: tốc độ thay đổi của diện tích khi dịch cận trên bằng đúng giá trị hạch nhân tức thời ở biên.

(C) Hoán đổi đạo hàm và tích phân (khác biến)

$$ \frac{d}{dt}\int_\Omega f(t,x)\,dx = \int_\Omega \partial_t f(t,x)\,dx, $$

nếu $f$ trơn hoặc thỏa dominated convergence.

]]>Tính liên tục Lipschitz - điều kiện Lipschitzhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/lipschitz-condition/Mon, 25 Nov 2024 11:28:55 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/lipschitz-condition/Kiểm soát độ dốc của hàm!

Điều kiện Lipschitz khống chế tốc độ thay đổi của hàm bằng một hằng số toàn cục: độ chênh của giá trị hàm không được lớn hơn một bội cố định của độ chênh đầu vào. Hàm Lipschitz không nhất thiết trơn; chẳng hạn $f(x)=|x|$ có một điểm không khả vi tại $0$ nhưng vẫn là Lipschitz. Vì vậy, điều kiện này không nói rằng “độ dốc thay đổi chậm”, mà nói rằng các hệ số góc dây cung được chặn đều. Một hàm thỏa điều kiện này được gọi là liên tục Lipschitz.

]]>