# Bí mật lộ liễu của toán học


<!-- Yes, I agree. The title for this post is a little pretentious. It's certainly possible that there are other mathematical secrets that are more obvious than this one, but hey, I got your attention, right? Good. Because I'd like to tell you about an overarching theme in mathematics - a mathematical mantra, if you will. A technique that mathematicians use all the time to, well, do math.  -->

Có thể bạn có cảm giác rằng tiêu đề của bài viết này hơi khoa trương. Đúng là (đối với bạn) có thể có những bí mật toán học khác dễ nhận ra hơn, cơ mà, tôi đã thu hút sự chú ý của bạn, phải không? Tốt. Bởi vì tôi muốn kể cho bạn nghe về một chủ đề quan trọng trong toán học - một câu thần chú toán học, hi vọng bạn sẽ thích. Đây là một kĩ thuật mà các nhà toán học luôn sử dụng để làm toán.

<!-- I'm calling it a 'secret' because until recently, I've rarely (if ever?) heard it stated explicitly. This suggests to me that it's one of those things that folks assume you'll just eventually pick up. Hopefully. Like some sort of unspoken rule of mathematics. But a few weeks ago while chatting with my advisor\*, I finally heard this unspoken rule uttered! Explicitly. Repeatedly, in fact. And at that time I realized it needs to be ushered further into the spotlight. Today's post, then, is my invitation to you to come listen in on that conversation. -->

Tôi gọi nó là một 'bí mật' vì cho đến gần đây, tôi hiếm khi (nếu có?) nghe ai đó nói ra một cách rõ ràng. Có vẻ như rằng đó là một trong những điều mà mọi người sẽ tự mình nhận ra sau một thời gian dài làm toán. Hi vọng là vậy. Giống như một quy tắc bất thành văn trong toán học. Nhưng vài tuần trước khi trò chuyện với cố vấn của tôi*, cuối cùng tôi đã nghe thấy quy tắc bất thành văn này được thốt ra! Rõ ràng. Lặp đi lặp lại, thực ra là thế. Và lúc đó tôi nhận ra rằng nó cần được phát biểu rõ ràng và công khai hơn nữa. Vì vậy, bài viết hôm nay là lời mời của tôi đến bạn để lắng nghe cuộc trò chuyện đó.

<!-- So enough with the chit-chat! What's the secret? Here 'tis: -->

Vậy, bí mật này là gì? Đây:

<!-- > A mathematical object is determined by its relationships to other objects.  -->

> Một đối tượng toán học (mathematical object) được xác định bởi các quan hệ (relationships) của nó với các đối tượng khác.

<!-- Practically speaking, this suggests that -->

Nói một cách thực tiễn, điều này ám chỉ rằng

<!-- > an often fruitful way to discover properties of an object is NOT to investigate the object itself, but rather to study the collection of maps to or from the object. -->

> thường thì, để khám phá các tính chất (properties) của đối tượng nào đó sao cho có thể mang lại nhiều kết quả, thì thay vì khảo sát tỉ mẩn trực tiếp đối tượng đó, người ta sẽ tập trung nghiên cứu tập hợp các ánh xạ (maps) tới nó hoặc từ nó.

<!-- Or to be a little less formal, -->

Hoặc nói đơn giản hơn một chút,

<!-- > you can learn a lot about an object by studying its interactions with other things. -->

> bạn có thể học được rất nhiều điều về một đối tượng bằng cách nghiên các tương tác (interactions) của nó với các đối tượng khác.

<!-- By "object" I mean things like sets or groups or measurable spaces or vector spaces or topological spaces or.... And by "maps" I mean the appropriate version of 'function': functions, group homomorphisms, measurable functions, linear transformations, continuous functions, and so on. -->

Khi nói "đối tượng" (object), tôi muốn ám chỉ các thứ như tập hợp (sets), nhóm (groups), không gian đo được (measurable spaces), không gian vector (vector spaces), không gian topo (topological spaces), và nhiều thứ khác nữa. Còn "ánh xạ" (map) ý tôi là một thứ giống như 'hàm' (function) - tuỳ theo từng bối cảnh toán học cụ thể - như: hàm số (function), đồng cấu nhóm (group homomorphism), hàm đo được (measurable function), phép biến đổi tuyến tính (linear transformation), hàm liên tục (continous function), $\dots$

<!-- So now do you see why I'm calling this an obvious secret? We students have been using this technique - though perhaps unknowingly - since we were mathematical infants! We learned about functions in our younger days. We've labored over properties of real-valued functions and their (anti)derivatives throughout Calculus. We became well-acquainted with linear transformations and their corresponding matrices in linear algebra. We battled with homomorphisms during the first week of undergrad abstract algebra. We finally learned the real definition of a continuous map in point-set topology. The list goes on and on.  -->

Bây giờ bạn có thấy tại sao tôi gọi đây là một bí mật hiển nhiên không? Chúng ta đã từng sử dụng kĩ thuật này từ lâu, dù có thể lúc đó ta đã không tự nhận ra! Chúng ta đã học về hàm số khi còn nhỏ. Chúng ta đã miệt mài với các tính chất của hàm số thực (real-valued functions) và các đạo hàm (derivatives), hoặc nguyên hàm (anti-derivatives) của chúng suốt trong các giờ học Giải tích (Calculus). Chúng ta đã làm quen với các phép biến đổi tuyến tính và các ma trận (matrix) tương ứng trong Đại số tuyến tính (Linear algebra). Chúng ta đã vật vã với các đồng cấu (homomorphisms) trong tuần đầu tiên của Đại số đại cương (Abstract Algebra). Cuối cùng, chúng ta đã học được định nghĩa thực sự của một ánh xạ liên tục (continous map) trong Topo tập điểm (point-set topology). Và còn nhiều nữa.

<!-- See how pervasive this idea is? It's obvious! -->

Bạn có thấy ý tưởng này phổ biến như thế nào không? Rõ ràng là như vậy!

<!-- And that's my point. -->

Và đó là điều tôi muốn nói.

<!-- Because have you ever stopped to really think about it? -->

Bởi vì bạn đã bao giờ dừng lại để thật sự suy nghĩ về nó chưa?

<!-- At first glance, perhaps it seems a little odd that "best" way to study an object is to divert your attention away from the object and focus on something else. But we do this all the time. Take people-watching, for instance. You can learn a lot about a person simply by looking at how they relate to the folks around them. And the same is true in mathematics. -->

Khi mới nhìn qua, có thể nó có vẻ hơi kì lạ rằng cách "tốt nhất" để nghiên cứu một đối tượng là chuyển hướng chú ý của bạn ra khỏi đối tượng đó và tập trung vào một thứ khác. Nhưng thực tế thì ta luôn làm điều này. Lấy ví dụ việc quan sát con người, bạn có thể học được rất nhiều về một người chỉ bằng cách nhìn vào cách họ liên hệ với những người xung quanh họ. Toán học cũng vậy thôi.

![](https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b553c884d6e93caf6e653d6_little%20person.jpg)

<!-- I've hinted at this theme briefly in a previous post, but I'd like to list a few examples to further convince you. Keep in mind, though, that this is a philosophy that permeates throughout all of mathematics. So what I'm sharing below is peanuts compared to what's out there. But I hope it's enough to illustrate the idea. -->

Đây là một triết lí xuyên suốt trong toàn bộ toán học. Vì vậy, những gì tôi chia sẻ dưới đây chỉ là một phần nhỏ so với những gì tồn tại ngoài kia. Nhưng tôi hi vọng nó đủ để minh họa ý tưởng này.


<!-- ## In analysis... -->
## Trong giải tích...

![](https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b553c9a01c432fee8aa2c5e_sequences3.jpg)

<!-- One word: sequences! Recall (or observe) that a sequence $\{x_n\} = \{x_1, x_2, \dots\}$ is - yes, a long list of numbers but ultimately - a function $\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, where $x_n = \phi(n)$. By using sequences to 'probe' the real line $\mathbb{R}$, we learn that $\mathbb{R}$ has no "holes" - if you point your infinitesimally small finger anywhere on the real line, you'll always land on a real number. This property of $\mathbb{R}$ is called completeness, and it is investigated by special types of sequences called Cauchy sequences. Another good example is curvature. Need to measure how much a curve or surface is bending in space? Then you'll want to think about second derivatives which, assuming the curve/surface is "nice enough," are themselves continuous functions to $\mathbb{R}$!** -->

Một từ thôi: dãy số! Hãy nhớ lại (hoặc quan sát) xem. Có phải một dãy số (sequence) $\{x_n\} = \{x_1, x_2, \dots\}$, nó là một danh sách dài các con số, nhưng suy cho cùng thì nó cũng là một hàm $\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, trong đó $x_n = \phi(n)$, phải không! Bằng cách sử dụng các dãy số để "thăm dò" đường thẳng thực $\mathbb{R}$, chúng ta nhận ra rằng $\mathbb{R}$ không có "lỗ hổng" nào - nếu bạn chỉ ngón tay cực nhỏ của mình vào bất kì đâu trên đường thẳng thực, bạn sẽ luôn chạm vào một số thực. Thuộc tính này của $\mathbb{R}$ được gọi là tính đầy đủ (completeness), và nó được nghiên cứu bởi các loại dãy đặc biệt gọi là [dãy Cauchy](https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence) (Cauchy sequences). Một ví dụ điển hình khác là độ cong (curvature). Khi bạn cần đo độ cong của một đường cong hoặc mặt phẳng trong không gian, có phải bạn sẽ nghĩ tới đạo hàm bậc hai phải không? và nếu mà đường cong/mặt phẳng đó đủ "đẹp", thì chúng sẽ chính là các hàm liên tục tới $\mathbb{R}$!**


<!-- \> ** This is really a statement about differential geometry rather than analysis, for it generalizes nicely for things called manifolds. In fact, the whole premise behind differential geometry is a great example of today's theme. The idea is that globally, a manifold $M$ may be so complicated and wonky that we don't have many tools to probe it with. But - following the old adage, "How do you eat an elephant? One bite at a time." - the impossible becomes possible if we just consider $M$ in little patches at a time. Why? Because locally, manifolds look exactly like Euclidean space, $\mathbb{R}^n$. (Take the earth, for example. Even though it's round, it looks flat locally.) And since we have tons of tools at our disposal in $\mathbb{R}^n$ (like calculus!), we can apply them to the little patches of our manifold too. -->

>Đây thực sự là một mệnh đề trong hình học vi phân (differential geometry) hơn là giải tích (analysis), vì nó tổng quát hóa (generalize) rất tốt cho những thứ gọi là [đa tạp](https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold) (manifolds). Trên thực tế, toàn bộ tiền đề (premises) đằng sau hình học vi phân là một ví dụ tuyệt vời cho chủ đề hôm nay. Ý tưởng khá phổ quát, một đa tạp $M$ có thể phức tạp và kì quặc đến mức chúng ta không có nhiều công cụ để khảo sát nó. Nhưng - theo câu nói cũ, "Làm thế nào để ăn một con voi? Hãy ăn từng miếng một." - điều không thể sẽ trở thành có thể nếu chúng ta xem xét $M$ theo từng mảnh nhỏ. Tại sao? Vì xét về cục bộ, các đa tạp trông y xì như không gian Euclid, $\mathbb{R}^n$. (Lấy trái đất làm ví dụ. Mặc dù nó là hình cầu, nó cong, nhưng đứng ở phạm vi cục bộ, tức là ngay chỗ bạn đang đứng, thì nó trông khá phẳng.) Và vì chúng ta có vô số công cụ trên $\mathbb{R}^n$ (như phép tính vi tích phân!), chúng ta có thể áp dụng chúng cho từng mảnh nhỏ của đa tạp $M$ đó.


<!-- ## In group theory... -->
## Trong lí thuyết nhóm...

![](https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b553caf4d6e93604be653dc_D3.jpg)

<!-- By looking at homomorphisms from arbitrary groups to special types of groups called symmetric groups, we discover that the raison d'être of a group is to shuffle things around! This is captured in Cayley's Theorem, a major result in group theory, which says that every group is isomorphic to a group of permutations or, less formally, a group is to math what a verb is to language. In fact, this (not the theorem, per se, but the idea) is historically how groups were first understood and is precisely what motivated Galois to lay down the foundations of the discipline of mathematics that bears his name. You might recall that we've chatted previously about the verb-like behavior of groups in this non-technical introduction to Galois theory. -->

Bằng cách nhìn vào các đồng cấu (homomorphisms) từ các nhóm bất kì tới các loại nhóm đặc biệt gọi là [nhóm đối xứng](https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group) (symmetric groups), chúng ta phát hiện ra rằng lí do tồn tại của một nhóm là để hoán đổi vị trí các thứ với nhau! Định lí Cayley (Cayley's theorem), một kết quả quan trọng trong lí thuyết nhóm (group theory), đã chỉ rõ điều này. Định lí Cayley nói rằng mọi nhóm đều đẳng cấu với một [nhóm (của các) hoán vị](https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group) (group of permutations), hay nói đơn giản hơn, **vai trò của nhóm trong toán học** tương tự như **vai trò của động từ trong ngôn ngữ**. Trên thực tế, về mặt lịch sử, ý tưởng này chính là cách mà người ta hiểu về nhóm khi khái niệm này mới ra đời. Và chính điều này đã thúc đẩy Galois đặt nền móng cho [lĩnh vực toán học mang tên ông](https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory). Bạn có thể đã nhận ra rằng chúng ta đã từng trò chuyện về hành vi (behavior) của các nhóm trong [phần giới thiệu thường thức về lí thuyết Galois](https://www.math3ma.com/blog/what-is-galois-theory-anyway) (Galois theory).

<!-- ## In topology... -->
## Trong topo...

![](https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b553cbc01c432684aaa2c66_hole%20detector.jpg)

<!-- Want to know if your topological space $X$ is connected? Just check that any continuous map from it to $\{0, 1\}$ is constant! Want to determine how many 'holes' $X$ has? Study continuous functions from the circle, $S^1$, into it! This leads to the fundamental group, $\pi_1$. Want to know many higher dimensional 'holes' there are? Look at continuous functions from the $n$-sphere into it! This leads to the higher homotopy groups, $\pi_n$. Want to know what the topology on any given space is? Simply look at the collection of continuous functions from it to a little two-point space! In fact, this last example is really quite paradigmatic, and I'd like to elaborate a bit more. So stay tuned for next time! -->

Để biết liệu không gian topo $X$ nào đó có liên thông hay không, bạn chỉ cần [kiểm tra](https://www.math3ma.com/blog/on-connectedness-intuitively) xem liệu mọi ánh xạ liên tục từ $X$ tới $\{0, 1\}$ có phải là hằng số hay không, có phải vậy không! Chẳng qua, bạn muốn xác định có bao nhiêu "lỗ" trong $X$, đúng không? Và thế là bạn khảo sát các hàm liên tục từ vòng tròn $S^1$ vào $X$! Điều này dẫn đến [nhóm cơ bản](https://www.jeremykun.com/2013/01/12/the-fundamental-group-a-primer/) (fundamental group) $\pi_1$. Để biết có bao nhiêu ["lỗ" ở các chiều cao hơn](https://www.scientificamerican.com/blog/roots-of-unity/higher-homotopy-groups-are-spooky/) (higher dimensional "holes"), bạn sẽ nhìn vào các hàm liên tục từ $n$-hình cầu ($n$-shpere) vào $X$! Điều này dẫn đến các nhóm đồng luân cao hơn (higher homotopy groups), $\pi_n$. Khi bạn cần biết topo trên bất kì không gian nào là gì, bạn chỉ cần nhìn vào tập hợp các hàm liên tục từ nó tới [không gian hai-điểm](https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpi%C5%84ski_space) nhỏ (little two-point space), phải không! Trên thực tế, ví dụ cuối cùng này thực sự khá tiêu biểu, và tôi muốn giải thích thêm một chút. Vì vậy, hãy đợi đến lần sau nhé!


<!-- In the meantime, how many examples of today's not-so-secret secret can you think of? I'd love to hear 'em. Let me know in the comments below!   -->

Thử xem, liệu bạn có thể nghĩ ra bao nhiêu ví dụ về bí-mật-trông-có-vẻ-không-quá-bí-mật này?

<!-- \*Yes! I have an advisor now! And since my written qualifying exams are out of the way, the next thing on my to-do list is passing the oral qual. I've also picked up a teaching assignment this year. For both of these reasons, blogging has been - and may continue to be - a little bit slow. But although my posts may become less frequent, I'm hoping the content will be richer. I'm almost positive they'll be more topology/category-flavored, too. -->

## Tham khảo

- [The most obvious secret in mathematics](https://www.math3ma.com/blog/the-most-obvious-secret-in-mathematics)