Diện tích hình bình hành tạo bởi hai vectơ
Đây là một trong những công thức đẹp nhất của đại số tuyến tính ở mức nhập môn:
nếu hai vectơ trong mặt phẳng là
$$ > u=\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}, > \qquad > v=\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}, > $$thì diện tích hình bình hành do chúng tạo ra là
$$ > |ad-bc|. > $$
Công thức này nhìn qua có vẻ chỉ là một mẹo tính diện tích. Nhưng thật ra nó là điểm khởi đầu tự nhiên nhất để hiểu định thức.
1. Trực giác hình học
Đặt hai vectơ $u$ và $v$ cùng gốc tọa độ. Khi đó chúng tạo ra một hình bình hành có bốn đỉnh:
$$ 0,\qquad u,\qquad v,\qquad u+v. $$Nếu hai vectơ không cùng phương, hình bình hành ấy có diện tích dương. Nếu chúng cùng phương, hình bình hành bị ép dẹt thành một đoạn thẳng và diện tích bằng $0$.
Chỉ riêng trực giác này đã cho ta một ý rất quan trọng:
một đại lượng đo diện tích này cũng đồng thời đang đo xem hai vectơ có thật sự độc lập tuyến tính hay không.
2. Công thức $ad-bc$ đến từ đâu?
Xét
$$ u=\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}. $$Trong trường hợp quen thuộc nhất, khi hai vectơ nằm ở vị trí “thuận”, ta có thể đặt hình bình hành ấy vào trong một hình chữ nhật lớn hơn rồi trừ đi các tam giác ở bốn góc. Kết quả cuối cùng thu được là
$$ S=ad-bc. $$Nếu đổi vị trí hai vectơ cho nhau, công thức đổi dấu và trở thành
$$ bc-ad. $$Vì diện tích hình học luôn không âm, ta lấy giá trị tuyệt đối:
$$ \text{diện tích}=|ad-bc|. $$Điểm đáng nhớ ở đây là:
- dấu của $ad-bc$ cho biết định hướng của cặp vectơ;
- giá trị tuyệt đối của nó cho biết diện tích thật sự.
3. Vì sao dấu lại quan trọng?
Nếu từ $u$ quay sang $v$ theo chiều ngược kim đồng hồ bằng một góc nhỏ hơn $180^\circ$, ta thường nói cặp này ở vị trí thuận. Khi đó
$$ ad-bc>0. $$Ngược lại, nếu thứ tự bị đảo đi, ta nhận được
$$ ad-bc<0. $$Vì vậy, biểu thức $ad-bc$ không chỉ đo “to bao nhiêu”, mà còn cho biết cặp vectơ đang giữ hay đảo định hướng của mặt phẳng.
Đó là lý do trong đại số tuyến tính người ta rất quan tâm tới diện tích định hướng, chứ không chỉ diện tích thuần túy.
4. Viết lại bằng ngôn ngữ ma trận
Đặt hai vectơ làm cột của một ma trận: $$ A=\begin{bmatrix} a & b\ c & d \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u\quad v \end{bmatrix}. $$
Khi đó
$$ \det(A)=ad-bc. $$Nói cách khác:
định thức của ma trận $2\times2$ chính là diện tích định hướng của hình bình hành tạo bởi hai cột của nó.
Và do đó
$$ |\det(A)| $$là diện tích hình học thông thường.
5. Ý nghĩa sâu hơn
Công thức nhỏ này gói lại ba ý lớn:
- nếu $ad-bc\neq 0$, hai vectơ độc lập tuyến tính;
- nếu $ad-bc=0$, hai vectơ cùng phương nên hình bình hành bị dẹt;
- định thức của ma trận bắt đầu như một công thức hình học, rồi sau đó mới trở thành một công cụ đại số tổng quát hơn.
Đây là lý do bài toán diện tích hai chiều thường được xem là “cửa vào” tự nhiên nhất của định thức.
Đọc tiếp
- Trực giác hình học của định thức: bài tiếp theo mở rộng trực giác diện tích này thành một cách hiểu tổng quát hơn về định thức.
- Độ co giãn thể tích của ánh xạ tuyến tính: nếu ở đây định thức đo diện tích, thì ở bài đó nó đo hệ số co giãn thể tích trong nhiều chiều.
- Cơ sở, độc lập tuyến tính và số chiều của không gian vectơ: để thấy vì sao hai vectơ tạo được một hình bình hành khác $0$ thì phải thật sự độc lập tuyến tính.