# Lí thuyết phạm trù, thật ra là cái gì vậy?


Thay vì đưa ra một loạt định nghĩa — khá dễ kiếm trên internet nhưng bạn có thể sẽ cảm thấy hơi khó hiểu khi mới tiếp xúc — tôi nghĩ sẽ thú vị hơn nếu chúng ta cùng nhìn nhận lí thuyết phạm trù (category theory) trong bức tranh lớn hơn của toán học. Lí thuyết này khác biệt so với các nhánh toán học khác. Thay vì là một lĩnh vực ngang hàng với các ngành khác, nó giống như một “gen chung” kết nối chúng lại ngay từ gốc rễ.

## Bức tranh toàn cảnh của toán học

<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b5679a491372b30e38337a4_Mathematistan.jpg" alt="">

<!-- Martin Kuppe once created a wonderful map of the mathematical landscape, which he dubbed "Mathematistan."  You'll notice that the "coast of category theory" is located in the lower right corner. In my opinion, category theory isn't so much another country-on-the-map as it is a means of getting a bird's-eye-view of the entire landscape. It's what lifts our feet off the grass and provides us with a sweeping vista from the sky.  -->

Martin Kuppe từng tạo ra một bản đồ tuyệt vời về các "cảnh quan toán học" mà anh ấy gọi là "Mathematistan" (Miền đất toán học). Bạn sẽ thấy rằng "bờ biển của lí thuyết phạm trù" nằm ở góc dưới bên phải. Theo quan điểm của tôi, lí thuyết phạm trù không hẳn là một vùng đất nào đó trên bản đồ, mà là một cách để có được cái nhìn từ trên cao về toàn cảnh. Nó giống như việc nâng đôi chân của chúng ta lên khỏi mặt đất và mang lại cho chúng ta một góc nhìn toàn diện từ trên không.

<!-- With this vantage point, it becomes evident that different areas of math share common patterns/trends/structures. This becomes extraordinarily useful when you want to solve a problem in one realm (say, topology) but don't have the right tools at your disposal. By transporting the problem to a different realm (say, algebra), you can see the problem in a different light and perhaps discover new tools, and the solution may become much easier. -->

Từ vị trí này, bạn có thể nhận ra những mô thức và cấu trúc chung giữa các lĩnh vực toán học. Việc chuyển một bài toán sang ngôn ngữ khác, chẳng hạn từ tô-pô sang đại số, đôi khi cho phép sử dụng những công cụ không hiển nhiên trong cách phát biểu ban đầu.

<!-- The bridges between realms are also provided by category theory. It explicitly identifies the realms' common structures: each has objects in it (set theory has sets, group theory has groups, topology has topological spaces,...) that can relate to each other (sets relate via functions, groups relate via homomorphisms, topological spaces relate via continuous functions,...) in sensible ways (composition and associativity).  -->

Lí thuyết phạm trù cũng chỉ ra những chiếc cầu nối giữa các lĩnh vực này. Nó chỉ rõ những cấu trúc chung của các lĩnh vực: mỗi lĩnh vực đều có các đối tượng (lí thuyết phạm trù gọi đối tượng là "vật", trong tiếng Anh thì đều cùng một từ "object") trong đó (lí thuyết tập hợp có các tập hợp (set), lí thuyết nhóm có các nhóm (group), Topo có các không gian topo (toplogical space),...) và những đối tượng (vật) này có thể liên quan với nhau (các tập hợp liên kết thông qua hàm số (function), các nhóm liên kết qua đồng cấu (homomorphisms), các không gian topo liên kết qua các hàm liên tục (continuous functions),...) theo những cách hợp lí (phép hợp thành (composition) và tính kết hợp (associativity)).

<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b5679b7d1eceab6cc3ef29c_FullSizeRender%204.jpg" alt="">

<!-- A category, then, is any collection of objects that can relate to each other via morphisms in sensible ways, like composition and associativity. As Barry Mazur once remarked, this is a "template" for all of mathematics: depending on what you feed into the template, you'll recover one of the mathematical realms. So the collection of sets with functions forms a category, as does the collection of groups with group homomorphisms, and topological spaces with continuous functions. In addition to these, here are some other categories you're probably familiar with: -->

Một phạm trù (category), về cơ bản, là bộ (collection) nào đó gồm các đối tượng (vật) có thể liên kết (relate) với nhau qua các cấu xạ (morphisms) theo những cách hợp lí (sensible ways), như phép hợp thành (composition) và tính kết hợp (associativity). Như Barry Mazur [từng nhận xét](https://people.math.osu.edu/cogdell.1/6112-Mazur-www.pdf), đây là một "khuôn mẫu" (template) cho toàn bộ toán học: tuỳ thuộc vào những gì bạn đưa vào khuôn mẫu đó, bạn sẽ thu được một trong những lĩnh vực toán học. Ví dụ, tập hợp các tập hợp (sets) với các hàm số (functions) tạo thành một phạm trù, cũng như tập hợp các nhóm (groups) với các đồng cấu nhóm (group homomorphisms), và các không gian topo với các hàm liên tục. Ngoài những ví dụ này, đây là một số phạm trù khác mà có lẽ bạn cũng đã quen thuộc:

<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b5679eed1ecea66513ef29d_examples.jpg" alt="">

## Vấn đề rốt cuộc nằm ở các "quan hệ"!

<!-- One of the features of category theory is that it strips away a lot of detail: it's not really concerned with the elements in your set, or whether your group is solvable or not, or if your topological space has a countable basis. So you might wonder---and rightly so---How can it possibly be useful? -->

Một trong những đặc điểm nổi bật của lí thuyết phạm trù là nó loại bỏ nhiều chi tiết phức tạp: nó không quan tâm đến các phần tử (element) cụ thể trong tập hợp (set) của bạn, cũng chẳng quan trọng nhóm của bạn có [giải được](https://www.math3ma.com/blog/what-is-galois-theory-anyway) hay không, hay không gian topo của bạn có [cơ sở](https://www.math3ma.com/blog/open-sets-are-everything) đếm được hay không. Vậy nên, cũng khá tự nhiên nếu bạn này ra thắc mắc rằng? Ủa vậy thì nó hữu ích chỗ nào?

<!-- > Mathematical objects are determined by--and understood by--the network of relationships they enjoy with all the other objects of their species.
>
> Barry Mazur -->

> Các đối tượng toán học được xác định (determined) và được hiểu (understood) thông qua mạng lưới mối quan hệ của chúng với tất cả các đối tượng khác cùng loại.
> 
> Barry Mazur

<!-- Well, the advantage of ignoring details is that your attention is diverted from the actual objects to the relationships betweenthem (that is, on the morphisms). Naturally, then, you're prompted to also ask about relationships between categories. These are called functors. But why stop there? What about the relationships between those relationships? These are called natural transformations. (And yes, you can ask a hierarchy of questions: "What about the relationships between the relationships between the relationships between the...?" This leads to infinity categories. [And a possible brain freeze.] For more, see here.)  As pie-in-the-sky as this may sound, these ideas---categories, functors, and natural transformations---lead to a treasure trove of theory that shows up almost everywhere. -->

Ưu điểm của việc không chú trọng vào chi tiết là nó hướng sự chú ý của bạn từ các đối tượng (vật) cụ thể sang các mối quan hệ giữa các đối tượng (vật) đó (tức là các cấu xạ - morphisms). Một cách tự nhiên, bạn sẽ đặt câu hỏi về các mối quan hệ giữa các phạm trù. Chúng được gọi là các hàm tử (functor). Tiếp tục, vậy, còn mối quan hệ giữa các mối quan hệ thì sao? Đó là các phép biến đổi tự nhiên (natural transformations). (Và đúng vậy, bạn có thể hỏi một chuỗi câu hỏi như: "Còn mối quan hệ giữa mối quan hệ của các mối quan hệ thì sao?" Điều này dẫn đến phạm trù vô hạn - [infinity categories](https://ncatlab.org/nlab/show/infinity-category). [Và có thể khiến bạn "đứng hình".] Để biết thêm chi tiết, xem [tại đây](https://ncatlab.org/nlab/show/applications+of+%28higher%29+category+theory#related_pages).) Nghe có vẻ như điều gì đó xa vời, nhưng những ý tưởng này - phạm trù, hàm tử, và các phép biến đổi tự nhiên - dẫn đến một kho tàng lí thuyết xuất hiện ở hầu hết mọi nơi.

<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a0c7e0e9823d4098013_letrois.jpg" alt="">

<!-- Below is some evidence, most of which I've taken from Emily Riehl's excellent book Category Theory in Context. -->

Dưới đây là một số bằng chứng, hầu hết tôi đã lấy từ cuốn sách xuất sắc [*Category Theory in Context*](https://www.amazon.com/Category-Theory-Context-Aurora-Originals/dp/048680903X/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1484409967&sr=8-1&keywords=emily+riehl) của Emily Riehl.

<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a597e5a33effad055b4_1.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a635239f8dffccb7e2e_2.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a697e5a3301d3d055b5_3.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a709375dddef2e9e29f_4.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a955e88d48501799707_5.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567a9d0069608682f78cfe_6.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567aa59513cf2da1f0d959_7.jpg" alt="">
<img src="https://cdn.prod.website-files.com/5b1d427ae0c922e912eda447/5b567aad5e88d4cb89799708_8.jpg" alt="">

## Nhưng, tại sao lại là lí thuyết phạm trù?

<!-- I realize that categories can be a bit like anchovies: some folks love 'em, some folks don't, and for some folks they're an acquired taste. It's true that category theory may not help you find a delta for your epsilon, or determine if your group of order 520 is simple, or construct a solution to your PDE. For those endeavors, we do have to put our feet back on the ground. But thinking categorically can help serve as a beacon---it can strengthen your intuition, sharpen your insight---as you trek through the nooks and crannies of your favorite mathematical realms. (As Freeman Dyson would say, we need both birds and frogs to foster mathematical progress!) -->

Tôi nhận ra rằng các "phạm trù" có thể giống như "cá cơm": một số người thích, một số người không, và một số người cần thời gian để dần dần quen thuộc với chúng. Thật vậy, lí thuyết phạm trù có thể không giúp bạn tìm delta cho epsilon của mình, hay xác định xem [nhóm có cấp 520 của bạn có đơn giản hay không](https://www.math3ma.com/blog/4-ways-to-show-a-group-is-not-simple), hoặc tìm ra giải pháp cho phương trình vi phân của bạn. Để thực hiện những nhiệm vụ đó, chúng ta phải đặt chân xuống đất. Nhưng suy nghĩ theo hướng lí thuyết phạm trù có thể giống như một ngọn hải đăng — giúp tăng cường trực giác và làm sắc nét sự hiểu biết của bạn khi bạn khám phá những ngóc ngách trong các lĩnh vực toán học yêu thích của mình. (Như Freeman Dyson từng nói, chúng ta cần cả những [chú chim và những chú ếch](https://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf) để thúc đẩy tiến bộ toán học!)

<!-- I also think the attractiveness of category theory depends heavily on your goal as a mathematician. It greatly appeals to me because I love learning about connections between seemingly unrelated things. This is actually what got me into math in the first place---not a particular problem/phenomena in geometry or analysis or algebra, but the mere idea that there are underlying/hidden connections among them just to be uncovered. -->

Tôi cũng nghĩ rằng sức hấp dẫn của lí thuyết phạm trù phụ thuộc rất nhiều vào mục tiêu của bạn với tư cách là một nhà toán học. Lí thuyết này rất thu hút tôi vì tôi yêu việc khám phá các kết nối giữa những thứ tưởng chừng như không liên quan. Thực tế, đó chính là điều đã đưa tôi đến với toán học ngay từ đầu — không phải vì một vấn đề cụ thể trong hình học, giải tích hay đại số, mà bởi ý tưởng rằng có những kết nối tiềm ẩn giữa chúng chỉ chờ được khám phá.

<!-- All in all, the pervasiveness of category theory throughout mathematics has become quite apparent. So whatever your mathematical goals may be, I think learning a bit about categories will be well worth your time! Here are a few good places to start: -->

Tóm lại, lí thuyết phạm trù là ngôn ngữ hữu ích trong nhiều ngành, đặc biệt khi cần so sánh cấu trúc và các ánh xạ giữa chúng. Mức độ cần thiết phụ thuộc vào lĩnh vực và mục tiêu học tập. Dưới đây là một vài tài liệu để bắt đầu:

<!-- - If you'd like more motivation, I highly recommend Barry Mazur's wonderful article When is one thing equal to some other thing? And for a friendly, gentle introduction to categories, you may enjoy Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories by William Lawvere and Stephen Schanuel. -->

- Nếu bạn cần thêm động lực, tôi khuyên bạn nên đọc bài viết tuyệt vời của Barry Mazur [*When is one thing equal to some other thing?*](https://people.math.osu.edu/cogdell.1/6112-Mazur-www.pdf) Và để có một sự giới thiệu nhẹ nhàng về categories, bạn có thể thích cuốn [*Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories*](https://www.amazon.com/Conceptual-Mathematics-First-Introduction-Categories/dp/052171916X) của William Lawvere và Stephen Schanuel.

<!-- - Basic Category Theory by Tom Leinster should be accessible at the undergraduate level ("This is not a sophisticated text." is the first sentence.) and is certainly accessible at the graduate level. I also like the book by Emily Riehl that I referred to earlier. A free PDF is available on her website. -->

- [*Basic Category Theory*](https://golem.ph.utexas.edu/category/2017/01/basic_category_theory_free_onl.html) của Tom Leinster hướng tới người đọc đã có nền tảng toán đại học; độ khó thực tế còn phụ thuộc vào mức quen thuộc với đại số và tô-pô. Tôi cũng thích cuốn sách của Emily Riehl đã nhắc ở trên. Một phiên bản PDF miễn phí có trên [trang web của cô ấy](http://www.math.jhu.edu/~eriehl/).

<!-- - For a more applied point of view, take a look at Category Theory for the Sciences by David Spivak. You will also find some exciting applications of category theory in Physics, Topology, Logic, and Computation: A Rosetta Stone by John Baez and Mike Stay.  -->

- Để có một cái nhìn ứng dụng hơn, hãy xem cuốn [*Category Theory for the Sciences*](https://www.amazon.com/Category-Theory-Sciences-MIT-Press/dp/0262028131) của David Spivak. Bạn cũng sẽ tìm thấy một số ứng dụng thú vị của lí thuyết phạm trù trong [*Physics, Topology, Logic, and Computation: A Rosetta Stone*](https://math.ucr.edu/home/baez/rosetta.pdf) của John Baez và Mike Stay.

<!-- - The classic is Categories for the Working Mathematician by Saunders Mac Lane who, along with Samuel Eilenberg, developed category theory in the 1940s. -->

- Cuốn sách kinh điển là [*Categories for the Working Mathematician*](https://www.amazon.com/Categories-Working-Mathematician-Graduate-Mathematics/dp/0387984038) của Saunders Mac Lane, người đã phát triển lí thuyết phạm trù cùng với Samuel Eilenberg vào những năm 1940.

<!-- - Here is an article by John D. Cook in which he talks about the (usual, Cartesian) product from a categorical perspective--notice the emphasis on relationships! -->

- Đây là một bài viết của [John D. Cook](https://www.johndcook.com/blog/2016/03/22/categorical-products/), trong đó ông nói về tích (Cartesian) từ quan điểm của phạm trù — lưu ý rằng có sự nhấn mạnh vào các mối quan hệ!

<!-- - Once you've learned the basic definitions, here are a few YouTube videos (including some by Eugenia Cheng) on more advanced categorial topics. -->

- Khi bạn đã nắm được các định nghĩa cơ bản, đây là một số [video YouTube](https://www.youtube.com/user/TheCatsters/videos) (bao gồm cả một số của Eugenia Cheng) về các chủ đề lí thuyết phạm trù nâng cao hơn.

<!-- - And, as a catch-all, here's a link that contains a slew of online books, articles, lecture notes, and videos! -->

- Cuối cùng, đây là một liên kết chứa một loạt các [sách trực tuyến, bài báo, bài giảng và video!](https://www.logicmatters.net/categories/)

<!-- During the next few weeks, I'll go through the precise definitions of a category, a functor, and a natural transformation along with some examples. You can, of course, find them in any of the resources above, but it'll be nice to have them on the blog, too. Until then! -->

Trong các bài viết tới, tôi sẽ đi qua các định nghĩa chính xác của một phạm trù, một hàm tử và một biến đổi tự nhiên cùng với một số ví dụ.

<!-- > Good general theory does not search for the maximum generality, but for the right generality.
>
> Saunders Mac Lane -->

> "Lí thuyết tổng quát tốt không tìm kiếm sự tổng quát tối đa (masimum generality), mà tìm kiếm sự tổng quát phù hợp (right generality)."
> 
> *Saunders Mac Lane*

## Ngôn ngữ của lí thuyết phạm trù:

Học lí thuyết phạm trù cũng tương tự như học một ngoại ngữ ngôn ngữ nào đó vậy. Bằng cách nắm vững các "từ vựng" và "ngữ pháp" cơ bản, ta có thể có có cách tiếp cận dễ hiểu hơn.

Trong cách nhìn của tôi, vai trò của lí thuyết phạm trù đối với toán học như một lưu đồ (flowchart). Nó là hệ thống kí hiệu để giúp ta thấy ra các mối quan hệ toán học phức tạp. Nếu lưu đồ giúp trực quan hoá các quy trình và các bước ra quyết định, thì lí thuyết phạm trù cho ta một khung sườn để trực quan hoá, sơ đồ hoá các khái niệm toán học và mối quan hệ của chúng một cách hệ thống. Trong đó

- Lưu đồ: Bắt đầu từ một điểm, có các mũi tên chỉ quy trình hoặc quyết định và dẫn đến các kết quả khác nhau dựa trên đầu vào và điều kiện.

- Phạm trù: Bao gồm các vật (tương tự như các ô trong lưu đồ) và các cấu xạ (morphisms) (tương tự như các mũi tên) đại diện cho các mối quan hệ hoặc ánh xạ (map) giữa các đối tượng này.

Cả hai đều là công cụ để **tổ chức thông tin**, nhưng lí thuyết phạm trù hoạt động ở một cấp độ trừu tượng và tổng quát hơn.

<!-- ### **4. Core Components of Category Theory**
The speaker breaks down the fundamental elements of category theory:

- **Objects (Vertices):** Represent entities within the category. In the category **Set**, for example, objects are sets.
- **Morphisms (Arrows):** Represent relationships or functions between objects. In **Set**, morphisms are functions between sets.

They highlight that categories can be visualized as graphs with objects as nodes and morphisms as directed edges connecting these nodes. However, unlike general graphs, categories incorporate additional structure through the composition of morphisms and the existence of identity morphisms. -->

### Các thành phần cơ bản của lí thuyết phạm trù

- Các vật: Đại diện cho các thực thể trong phạm trù. Trong phạm trù Set, chẳng hạn, các vật là các tập hợp.

- Các cấu xạ: Đại diện cho các mối quan hệ hoặc hàm giữa các vật. Trong Set, các cấu xạ là các hàm giữa các tập hợp.

Ta có thể hình dung phạm trù có thể được hình dung như một đồ thị với các vật là các nút và các cấu xạ là các cạnh có hướng nối các nút này. Tuy nhiên, khác với các đồ thị thông thường, các phạm trù bao gồm cấu trúc bổ sung thông qua phép hợp thành (composition) của các cấu xạ và sự tồn tại của các ánh xạ đồng nhất (identity morphisms).

- Phép hợp các cấu xạ: Cho phép nối các cấu xạ để tạo thành các cấu xạ mới, tuân theo các quy tắc cụ thể.

- Cấu xạ Đồng nhất: Mỗi vật có một cấu xạ đồng nhất đóng vai trò là yếu tố trung lập (neutral element) cho phép hợp thành.
- Tính Kết hợp: Phép hợp các cấu xạ có tính kết hợp, nghĩa là thứ tự thực hiện các phép hợp thành không ảnh hưởng đến kết quả.

Các tiên đề này đảm bảo rằng phạm trù duy trì cấu trúc nhất quán và dễ quản lí, giúp dễ dàng xử lí các mối quan hệ phức tạp về mặt toán học.

<!-- ### **7. Category Theory as a Generalization of Flowcharts**
Expanding on the earlier comparison, the speaker posits that category theory generalizes the concept of flowcharts. It not only organizes relationships between objects (like flowcharts organize processes) but also introduces operations like composition, enabling more complex and abstract manipulations of these relationships. This generalization allows category theory to handle both finite and infinite structures efficiently. -->

Lí thuyết phạm trù là sự tổng quát hóa của khái niệm lưu đồ. Nó không chỉ tổ chức các mối quan hệ giữa các vật (giống như lưu đồ tổ chức các quy trình) mà còn bổ sung các phép toán như phép hợp thành, cho phép xử lí các mối quan hệ này theo cách phức tạp và trừu tượng hơn. Sự tổng quát hóa này cho phép lí thuyết phạm trù xử lí hiệu quả cả cấu trúc hữu hạn và vô hạn.

### Sự phân cấp của các cấu xạ

Đây là một trong những trọng tâm trong lí thuyết phạm trù. Cụ thể, các cấu xạ có thể được phân cấp dựa trên mức độ quan trọng và sự phức tạp của chúng:

- **Cấu xạ** (quan hệ giữa các vật): Quan trọng hơn bản thân các vật.
- **Quan hệ giữa các cấu xạ** (quan hệ giữa các quan hệ giữa các vật): Thậm chí còn quan trọng hơn, dẫn đến các khái niệm như biến đổi tự nhiên (natural transformation).
- **Quan hệ bậc cao** (quan hệ giữa... các quan hệ giữa các quan hệ giữa các vật): Lí thuyết có thể mở rộng đến các quan hệ giữa các quan hệ của ánh xạ, cho thấy mức độ sâu sắc và tính đa tầng của lí thuyết phạm trù.

## Tham khảo

- Tai-Danae Bradley. (2017, Janary 17). *What is category theory anyway?* Math3ma. [https://www.math3ma.com/blog/what-is-category-theory-anyway](https://www.math3ma.com/blog/what-is-category-theory-anyway)

- Dani. (2021, November 21). *What is... category theory* [Video]. YouTube. [https://www.youtube.com/watch?v=U56kGttITyI](https://www.youtube.com/watch?v=U56kGttITyI)

- Mac Lane, S. (1998). *Categories for the Working Mathematician* (2nd ed.). Springer. [https://www.amazon.com/Categories-Working-Mathematician-Graduate-Mathematics/dp/0387984038](https://www.amazon.com/Categories-Working-Mathematician-Graduate-Mathematics/dp/0387984038)