Linear-Algebra - Danh mục - NZQIRChttps://nzqirc.xyz/categories/linear-algebra/Linear-Algebra - Danh mục - NZQIRCHugo -- gohugo.ioviThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.Sun, 16 Aug 2026 11:00:00 +0700Modern Portfolio Theory: Nghệ thuật kết hợp rủi rohttps://nzqirc.xyz/posts/math/stats/modern-portfolio-theory/Sun, 16 Aug 2026 11:00:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/stats/modern-portfolio-theory/Năm 1952, Harry Markowitz xuất bản một bài báo thay đổi hoàn toàn cách thế giới tài chính vận hành, đem về cho ông giải Nobel Kinh tế năm 1990. Lý thuyết đó mang tên Modern Portfolio Theory (MPT) - Lý thuyết Danh mục Đầu tư Hiện đại.

Trước MPT, người ta đầu tư đơn giản bằng cách chọn ra những cổ phiếu có lợi nhuận kỳ vọng cao nhất. Markowitz chỉ ra một sự thật cơ bản nhưng thường bị phớt lờ: “Don’t put all your eggs in one basket” (Đừng bỏ tất cả trứng vào một rổ). Nhưng rổ nào, và bao nhiêu trứng mỗi rổ?

]]>Ma trận Hiệp phương sai & Tương quan: Thấu kính nhìn vào rủi ro tài chínhhttps://nzqirc.xyz/posts/math/stats/covariance-and-correlation-matrix/Sat, 15 Aug 2026 21:02:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/stats/covariance-and-correlation-matrix/Trong tài chính, định lý Modern Portfolio Theory (Lý thuyết Danh mục Đầu tư Hiện đại) của Harry Markowitz nói rằng: Đừng chỉ nhìn vào rủi ro của từng tài sản đơn lẻ, hãy nhìn vào cách chúng “nhảy múa” cùng nhau.

Giả sử bạn đang xem xét tỷ suất sinh lời hàng ngày của hai tài sản:

  • Tài sản X (Ví dụ: Trái phiếu Chính phủ): An toàn, biến động thấp.
  • Tài sản Y (Ví dụ: Cổ phiếu Bất động sản): Rủi ro cao, biến động cực mạnh.

Để đo lường rủi ro (sự phân tán), chúng ta dùng Phương sai (Variance) cho từng tài sản. Nhưng để biết chúng đi cùng nhau hay ngược nhau (để đa dạng hoá danh mục), chúng ta cần đến Hiệp phương sai (Covariance) và Tương quan (Correlation).

]]>Hồi quy tuyến tính, ma trận thiết kế và OLS: từ dữ liệu đến bài toán bình phương tối thiểuhttps://nzqirc.xyz/posts/math/stats/linear-regression-design-matrix-and-ols/Wed, 15 Apr 2026 15:10:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/stats/linear-regression-design-matrix-and-ols/Khi mới gặp hồi quy tuyến tính, nhiều người có cảm giác bài toán này nhảy bước rất mạnh.

Ban đầu ta chỉ thấy một tập dữ liệu gồm các cặp

$$ (x^1,y^1),\ (x^2,y^2),\ \dots,\ (x^N,y^N), $$

trong đó mỗi

$$ x^k\in\mathbb{R}^n $$

là một vector đặc trưng, còn $y^k$ là giá trị cần dự đoán.

Nhưng chỉ vài dòng sau, mọi thứ bỗng biến thành

$$ \hat y = \beta^T \tilde x, \qquad \sum_{k=1}^N(\hat y^k-y^k)^2, \qquad \|X\beta-\mathbf y\|_2^2. $$

Nếu nhìn lần đầu, rất dễ tưởng đây là một đống ký hiệu được nhét vào cho gọn.

]]>Chéo hoá trực giao: khi ma trận đối xứng để lộ các trục chínhhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/orthogonal-diagonalization/Thu, 09 Apr 2026 17:00:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/orthogonal-diagonalization/Trong bài trước, ta đã nhìn trị riêng, vector riêng và chéo hoá như một cách đọc cấu trúc của một ánh xạ tuyến tính. Nhưng bức tranh ấy vẫn chưa phải là trường hợp đẹp nhất.

Có những ma trận tuy nhìn vẫn pha trộn nhiều tọa độ, nhưng khi bóc đúng lớp của chúng ra, ta phát hiện:

  • mọi trị riêng đều là số thực;
  • các hướng riêng tự nhiên lại vuông góc với nhau;
  • và toàn bộ ánh xạ có thể được mô tả bằng một cơ sở trực chuẩn.

Đó là thế giới của ma trận đối xứng, của chéo hoá trực giao, và cũng là nơi định lí phổ hiện ra theo cách sạch nhất.

]]>Trị riêng, vector riêng và chéo hoá: đọc cấu trúc của một ánh xạ tuyến tínhhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/matrix-diagonalization/Thu, 09 Apr 2026 16:50:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/matrix-diagonalization/Trong bài Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sở, câu hỏi trung tâm là: ánh xạ này đang làm gì với không gian? Nó kéo giãn, nén lại, triệt tiêu, quay, hay làm méo những hướng nào?

Đến đây, ta muốn biết điều gì sẽ không đổi khi ta thay đổi cơ sở (và chính vì vậy nên nó là đặc trương nội tại của nó). Đó là lúc ta xét đến trị riêng, vector riêng, và rộng hơn là phân tích phổ.

]]>Phân tích QR: tách ma trận thành hướng vuông góc và hệ số pha trộnhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/qr-decomposition/Thu, 09 Apr 2026 16:40:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/qr-decomposition/Sau khi học Gram-Schmidt, có một câu hỏi rất tự nhiên:

Nếu các cột của một ma trận là những hướng độc lập nhưng chưa vuông góc, liệu ta có thể tách chúng thành một phần “hướng vuông góc sạch sẽ” và một phần “hệ số pha trộn” hay không?

Câu trả lời là có. Đó chính là phân tích QR.

1. Trực giác của QR

Hãy tưởng tượng bạn đang có một bộ trục xiên trong không gian. Bộ trục này vẫn dùng được, nhưng khó nhìn và khó tính. Bạn muốn thay nó bằng một bộ trục vuông góc hơn, dễ làm việc hơn, nhưng vẫn mô tả cùng không gian đó.

]]>Trực giao và trực chuẩn hoá Gram-Schmidthttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/orthogonality-and-gram-schmidt/Thu, 09 Apr 2026 16:30:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/orthogonality-and-gram-schmidt/<p>Nếu cơ sở là một bộ hướng gốc để mô tả không gian, thì không phải cơ sở nào cũng “dễ dùng” như nhau. Có những cơ sở rất lệch, các hướng dính vào nhau, khiến việc tính toán và đọc trực giác đều mệt. Nhưng cũng có những cơ sở rất sạch: các hướng vuông góc với nhau, tách bạch, không chồng lấn.</p> <p>Bài này nói về chính điều đó.</p>Kernel, image và định lý rank-nullityhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/kernel-image-and-rank-nullity/Thu, 09 Apr 2026 16:20:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/kernel-image-and-rank-nullity/Khi một phép biến đổi tuyến tính tác động lên không gian, có hai câu hỏi tự nhiên xuất hiện:

  1. Có những vectơ nào bị biến thành $0$?
  2. Có những vectơ nào ở đầu ra mà ta thực sự chạm tới được?

Hai câu hỏi này dẫn đến hai khái niệm trung tâm: kernel và image. Chúng là cách ngắn gọn nhất để mô tả một phép biến đổi tuyến tính đã “làm mất” cái gì và “giữ lại” cái gì.

]]>Phép biến đổi tuyến tính, ma trận biểu diễn và đổi cơ sởhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/linear-transformations-matrix-representation-and-change-of-basis/Thu, 09 Apr 2026 16:10:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/linear-transformations-matrix-representation-and-change-of-basis/<p>Ý tưởng của bài này rất đơn giản: một <strong>phép biến đổi tuyến tính</strong> là cách biến cả không gian thành một không gian mới mà vẫn giữ được cấu trúc cộng và nhân vô hướng. Hình vuông có thể thành hình bình hành, hình tròn có thể thành ellipse, mặt phẳng có thể bị ép xuống một đường thẳng, nhưng mọi thứ vẫn biến đổi theo một quy luật rất đều đặn.</p>Cơ sở, độc lập tuyến tính và số chiều của không gian vectơhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/basis-and-dimension-of-vector-spaces/Thu, 09 Apr 2026 14:59:06 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/linear-algebra/basis-and-dimension-of-vector-spaces/Ý tưởng rất đơn giản: nếu muốn mô tả mọi màu trên màn hình, ta cần những “màu gốc” nào, và cần bao nhiêu màu gốc như thế? Đó cũng chính là cách ta nghĩ về cơ sở, độc lập tuyến tính và số chiều trong đại số tuyến tính.

1. Cơ sở là gì? Khi nào $B$ là cơ sở của không gian vectơ $X$?

Hãy bắt đầu bằng hệ màu RGB trên màn hình.

]]>