Analysis - Danh mục - NZQIRChttps://nzqirc.xyz/categories/analysis/Analysis - Danh mục - NZQIRCHugo -- gohugo.ioviThis work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.Sun, 30 Aug 2026 17:00:00 +0700Bất đẳng thức Jensen: Trực giác hình học từ hàm lồi đến kỳ vọng xác suấthttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/jensen-inequality/Sun, 30 Aug 2026 17:00:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/jensen-inequality/Trong toán học và xác suất, phép lấy trung bình (hay kỳ vọng toán học $\mathbb{E}$) là một toán tử tuyến tính mẫu mực. Nếu ta có một hàm tuyến tính $f(x) = ax + b$, việc áp dụng hàm trước rồi lấy trung bình hay lấy trung bình trước rồi áp dụng hàm luôn cho cùng một kết quả:

$$ f(\mathbb{E}[X]) = \mathbb{E}[f(X)]. $$

Tuy nhiên, thế giới tự nhiên và các mô hình thống kê hiếm khi tuyến tính. Khi $f$ là một hàm phi tuyến (như $x^2, e^x, \ln x$), câu hỏi căn bản xuất hiện: $f(\mathbb{E}[X])$ và $\mathbb{E}[f(X)]$, đại lượng nào lớn hơn?

]]>Giải tích Phức: Từ Trực giác Dòng chảy đến Định lý Thặng dưhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/complex/Wed, 05 Aug 2026 12:00:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/complex/<p>Giải tích phức là một lĩnh vực có nhiều đặc tính giải tích chặt chẽ. Khác với giải tích thực nơi hàm số có thể gãy góc hoặc chỉ khả vi một lần, trong mặt phẳng phức, chỉ cần một hàm số thỏa mãn điều kiện khả vi tại mọi điểm (giải tích), nó lập tức trở nên trơn tru vô hạn lần và tuân theo các định luật bảo toàn.</p>Nguyên lý ánh xạ co và Điểm bất động Banachhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/contraction-mapping/Wed, 05 Aug 2026 10:20:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/contraction-mapping/Giả sử bạn đang cầm một bản đồ của Việt Nam và bạn đứng ở đâu đó ngay trong lãnh thổ Việt Nam. Nếu bạn thả tờ bản đồ xuống đất, liệu có một điểm nào trên tờ bản đồ nằm trùng khớp hoàn hảo với chính vị trí thực tế của nó trên mặt đất không?

Câu trả lời là có, và luôn luôn chỉ có một điểm duy nhất. Đó chính là một minh họa trực quan tuyệt đẹp cho Nguyên lý ánh xạ co (Contraction Mapping Principle) và Định lý điểm bất động Banach (Banach Fixed-Point Theorem).

]]>Bài toán Kakeya và Giải Fields 2026: Không gian ba chiềuhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/kakeya-conjecture/Wed, 05 Aug 2026 09:30:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/kakeya-conjecture/<p>Vào tháng 7 năm 2026, Huy chương Fields - giải thưởng danh giá nhất của giới toán học - đã được trao cho Hong Wang (Vương Hồng - 王虹), ghi nhận những đột phá của cô trong giải tích điều hòa (harmonic analysis) và lý thuyết độ đo hình học. Một trong những thành tựu trung tâm mang lại giải thưởng này là việc cô (cùng với cộng sự Joshua Zahl) đã chứng minh thành công <strong>Giả thuyết Kakeya trong không gian ba chiều</strong>, một bài toán đã thách thức giới toán học suốt một thế kỷ.</p>Hoán đổi đạo hàm và tích phân - Integral & Derivative Exchangehttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integral-derivative-exchange/Sun, 14 Sep 2025 18:55:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integral-derivative-exchange/Đạo hàm & Tích phân, hoán đổi và các nhầm lẫn thường thấy

1. Hai tình huống cơ bản

(A) Tích phân của đạo hàm (cùng biến)

$$ \int_0^t f'(s)\,ds = f(t) - f(0). $$
  • Đây là định lý cơ bản của giải tích.
  • Ý nghĩa: cộng dồn tất cả “tốc độ thay đổi” $f’(s)$ từ 0 đến $t$ thì bằng hiệu giá trị biên.

(B) Đạo hàm của tích phân (cận phụ thuộc biến)

$$ \frac{d}{dt}\int_0^t f(s)\,ds = f(t). $$
  • Đạo hàm tác động vào cận trên biến thiên $t$.
  • Ý nghĩa: tốc độ thay đổi của diện tích khi dịch cận trên bằng đúng giá trị hạch nhân tức thời ở biên.

(C) Hoán đổi đạo hàm và tích phân (khác biến)

$$ \frac{d}{dt}\int_\Omega f(t,x)\,dx = \int_\Omega \partial_t f(t,x)\,dx, $$

nếu $f$ trơn hoặc thỏa dominated convergence.

]]>Nhân tử lấy tích phân - Integrating Factorhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integrating-factor/Tue, 09 Sep 2025 18:55:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/integrating-factor/1. Ta đi từ PDE về ODE

Sau khi đi theo đường đặc trưng, PDE trở thành ODE:

$$ U'(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))} + \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\, U(s), $$

trong đó $U(s) = u(s, X(s))$.

Đây là ODE tuyến tính bậc nhất dạng:

$$ U'(s) - \textcolor{#1E90FF}{g(s, X(s))}\,U(s) = \textcolor{#FF1394}{h(s, X(s))}. $$

2. Đặc điểm của ODE tuyến tính bậc nhất

Một ODE tuyến tính bậc nhất có dạng tổng quát:

$$ y'(s) + \textcolor{#1E90FF}{a(s)}\,y(s) = \textcolor{#FF1394}{b(s)}. $$

Muốn giải loại này, ta dùng nhân tử lấy tích phân (integrating factor).

]]>Hội tụhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/radius-of-convergence/Mon, 01 Sep 2025 18:22:00 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/radius-of-convergence/1. Hội tụ của chuỗi lũy thừa

Chuỗi hình học là chuẩn vàng

Chuỗi hình học

$$\sum_{n=0}^\infty \textcolor{#FF1394}{r}^n$$

hội tụ khi $|r|<1$. $r$ còn được gọi là “tỉ số” (ratio) của chuỗi hình học. Đây thường là tiêu chuẩn cơ bản để so sánh rất nhiều chuỗi khác. Thậm chí, đây cũng là công cụ cốt lõi để so sánh các chuỗi lũy thừa.

Chuỗi lũy thừa và hạng tử điển hình

Xét chuỗi lũy thừa quanh gốc $0$:

]]>Tốc độ tiến về vô cùnghttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/speed-of-going-to-infty/Mon, 02 Dec 2024 11:01:56 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/speed-of-going-to-infty/Trong nhiều bài toán giải tích, ta thường quan tâm đến tốc độ tiến về vô cùng (còn gọi là tốc độ tăng trưởng) của các hàm số trên đoạn $[0, +\infty)$. Nó liên quan trực tiếp đến sự hội tụ của dãy hay chuỗi, và đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các định lý quan trọng.

Các hàm thường gặp

Trong bài viết này, ta sẽ so sánh tốc độ tăng trưởng của một số dạng hàm quen thuộc sau:

]]>Định lí hàm ẩn - Implicit Function Theoremhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/implicit-function/Tue, 26 Nov 2024 16:34:18 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/implicit-function/Các bài toán tối ưu có ràng buộc (Lagrange), ổn định trong hệ động lực (stability in dynamical systems), hình học (geometry), topo (topology), kinh tế (comparative statics), học máy (machine learning), robot (robotics - Kinematics), thuỷ động lực học (Fluid Dynamics) … thường dẫn đến các phương trình nhiều biến kiểu như:

$$ F(x_0, x_1, x_2, \dots, x_n) = 0. $$

Đôi khi việc tìm nghiệm của phương trình trên là không thể, tốn nhiều tài nguyện hoặc thậm chí là không cần thiết. Thay vào đó, một nhu cầu khác thường phát sinh, đó là lúc ta nghi ngờ rằng có sự phụ thuộc ngầm giữa các biến (có thể chỉ tồn tại trong một phạm vi cục bộ nào đó) và ta muốn xác định điều kiện để biểu diễn một (hoặc một vài biến) biến dưới dạng hàm của các biến còn lại. Nội dung của Định lí hàm ẩn (Implicit Function Theorem) chính là để giải quyết vấn đề này.

]]>Tính liên tục Lipschitz - điều kiện Lipschitzhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/lipschitz-condition/Mon, 25 Nov 2024 11:28:55 +0700Du Mãhttps://nzqirc.xyz/posts/math/analysis/lipschitz-condition/Kiểm soát độ dốc của hàm!

Điều kiện Lipschitz khống chế tốc độ thay đổi của hàm bằng một hằng số toàn cục: độ chênh của giá trị hàm không được lớn hơn một bội cố định của độ chênh đầu vào. Hàm Lipschitz không nhất thiết trơn; chẳng hạn $f(x)=|x|$ có một điểm không khả vi tại $0$ nhưng vẫn là Lipschitz. Vì vậy, điều kiện này không nói rằng “độ dốc thay đổi chậm”, mà nói rằng các hệ số góc dây cung được chặn đều. Một hàm thỏa điều kiện này được gọi là liên tục Lipschitz.

]]>